電力系統環面分岔與混沌現象

 摘  要：導致電力系統混沌出現之一種途徑——環面分岔(TB, Torus Bifurcation)現象，屬于一種較為復雜之動態分岔現象，是由于一對復共軛弗羅奎特因子(FM, Floquet Multipliers)從其龐加萊截面(Poincaré section)上之單位圓同時穿出造成之。陽光電子學校維修專家分析認為：由環面分岔導致之混沌現象具有許多奇特之現象，如系統運動沿封閉環面分布、存在進一步之分岔與自組織現象以及有序與混沌共存等。陽光電子學校維修專家分析認為：該文利用非線性動力系統分岔理論和方法，針對一個簡單之電力系統模型，對電力系統CTC現象之產生機理、表現形式和存在特點進行了詳細之分析，所得結論有助于對電力系統混沌和各種失穩現象本質之理解。陽光電子學校維修專家分析認為：
    關鍵詞：電力系統；穩定性；混沌；分岔

1  引言
    隨著電力系統穩定問題之深入研究，國內外學者相繼發現電力系統中存在十分復雜之混沌現象。陽光電子學校維修專家分析認為：混沌是非線性系統中各參數相互作用導致之一種非常復雜之現象^[1]，它在電力系統中出現時，將伴隨系統運行參數持續無規則之振蕩，嚴重危害系統之運行安全。陽光電子學校維修專家分析認為：
    Abed^[2,3]和Srivastava^[4]根據由連續倍周期分岔(PDB, Period Doubling Bifurcation)導致混沌之途徑^[5~10]及這一現象出現之規律，致力于研究消除電力系統混沌現象之辦法。陽光電子學校維修專家分析認為：其后，在研究小擾動穩定域與混沌現象之關系中，又發現了由于初始能量直接激發導致混沌出現之途徑^[11]，但在實用之電力系統小擾動穩定域之研究中，可以不考慮混沌現象之存在^[12]。陽光電子學校維修專家分析認為：
    環面分岔(TB, Torus Bifurcation)也是導致非線性系統出現混沌現象之一種重要途徑^[1,13,14]，且具有環面特性之混沌系統具有許多奇特之現象，但在電力系統混沌現象之研究中卻從未被論及，為此，本文借助一個簡單之3節點系統^[15]，對電力系統TB和經由TB出現之混沌現象之特點進行了分析。陽光電子學校維修專家分析認為：
    用非線性微分方程表示之動態系統為

式中   x為狀態變量，l為分岔變量。陽光電子學校維修專家分析認為：
    平衡點方程為
   f(x,λ)=0                       (2)
    靜態分岔研究之是式(2)解之數目隨分岔變量l連續變化發生改變而出現之分岔現象；動態分岔研究之是與式(1)之閉軌、同宿和異宿軌道以及不變環面之產生、消失和變化相關之分岔現象。陽光電子學校維修專家分析認為：
    假設式(1)具有周期解，周期為T，當初始點為x₀時，對應之解為x_t=f(x₀, t)，則有

定義1 (Poincaré截面)： 假設å是n維子空間U(ÌRⁿ)中n-1維超平面，且滿足 ① f(x)與å滿足橫截性條件，即f(x)×n(x)¹0，xÎå，其中，n(x)為å在點x處之法線向量； ② å與受向量場f(x)控制之流f相交于唯一點。陽光電子學校維修專家分析認為：則稱超平面å構成向量場f(x)或流f之一個Poincaré截面。陽光電子學校維修專家分析認為：

    定義2 (Poincaré映射)： 假設G為流f 之任意一條周期軌道，并與Poincaré截面å交于點p，由式(3)可得f(p, T)= p，即從p點出發之流，在一個周期之時間后，將回到p點。陽光電子學校維修專家分析認為：假設qÎU為p附近之一個點，當2點足夠接近時，由q點出發之軌跡將再次與Poincaré截面å相交，定義對應軌跡第一次返回點之映射為：P:U®å，則對于任意這樣之點qÎU，在映射P之作用下有

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